奈奎斯特定理：

在信号处理领域，存在一个至关重要的定理，即奈奎斯特定理。

奈奎斯特定理规定，在进行模拟信号到数字信号的转换时，若采样频率 ( f_s ) 最大值大于信号中最高频率 ( f_{\text{max}} ) 的两倍时（即 ( f_s > 2f_{\text{max}} ) ），则采样后的数字信号将完整地保留原始信号中的所有信息。在实际应用中，为了更好地保证信号的准确性和完整性，采样频率通常设置为信号最高频率的2.56至4倍范围内。奈奎斯特定理又被称为香农采样定理，它是数字信号处理领域中的基础原理之一。

这一定理的重要性在于，它为我们提供了在模拟和数字领域间进行信号转换时的准确指导。通过合理设置采样频率，我们能够确保数字信号能够准确地表达原始模拟信号的特征，从而保证了信号处理过程的准确性和可靠性。

利用matlab做频谱分析前我们需要了解分析过程中的一些基础知识，

matlab中的 fft 函数用法、fftshift 函数的用法

函数 1 fft ：

作用：快速傅里叶变换。

语法：

Y = fft(X)

Y = fft(X,n)

Y = fft(X,n,dim)

语法：

Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

• 如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换；
• 如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换；
• 如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换；

Y = fft(X,n) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

• 如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n；
• 如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n；
• 如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同；
• 如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同；

函数 2 fftshift：

作用：将零频分量移到频谱中心。

语法：

Y = fftshift(X)

Y = fftshift(X,dim)

说明：

Y = fftshift(X) 通过将零频分量移动到数组中心，重新排列傅里叶变换 X。

• 如果 X 是向量，则 fftshift 会将 X 的左右两半部分进行交换；
• 如果 X 是矩阵，则 fftshift 会将 X 的第一象限与第三象限交换，将第二象限与第四象限交换；
• 如果 X 是多维数组，则 fftshift 会沿每个维度交换 X 的半空间；

应用举例

现有输入信号 2Hz，ADC 采样频率为 500Hz ，满足采样定理的要求，目标：对信号进行频谱分析，找出信号在频域上的噪声分量，并设计对应滤波器滤除噪声，提高信噪比。

新建脚本文件FFT.m，脚本内容如下图 1：

程序第 3 行定义了信号的采样频率为 500Hz，第 4 行定义了采样周期，第 6 行导入了脚本路径下的txt数据，第 7 行计算导入数据的长度，第 8 行是计算数据的频率范围，，第 9~11 行绘出数据的时域信号波形图；

程序第 14 ~20 行计算绘制 FFT频谱图。

图 1

程序运行结果如下图 2 所示，我们可以根据图 2 所展示的频谱信息设计相应的滤波电路或软件算法去除噪声。另外从图 2 中可以看出，FFT 变换得到的频谱是左右对称的，因此，我们只需要其中一边就能获得信号的所有信息。链接中演示了怎样将双边频谱图转换为单边频谱图，可参考学习 https://zhuanlan.zhihu.com/p/42893470

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